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Ecuación Cubica

La ecuación cúbica o también conocida como la ecuación de tercer grado es aquella ecuación que obedece a un polinomio de tercer grado de la forma ax3 + bx2 + cx +d igual a cero.
Ecuación Cúbica General

Donde el coeficiente “a” es necesariamente diferente a cero (En el caso que a = 0 se obtiene una ecuación cuadrática o de grado dos)

Su solución se debe al parecer al matemático italiano Niccolo Fontano Tartaglia pero muchos afirman que este realmente copió el método de un alumno del profesor Scipione del Ferro quien nunca publicó nada al respecto.

La historia parece castigar a Tartaglia ya que fue Gerolamo Cardano, después de engañarlo, el que se encargaría de escribir el método de solución en su famoso libro "Ars Magna".


Método de solución de la ecuación cúbica


Lo primero es dividir la ecuación completa por el primer término ¨a¨
transformacion forma canonica de la ecuacion cubica

Reescribiendo la ecuación se tiene forma canonica de la ecuacion cubica forma canónica

Donde coeficientes j y k y por último coeficiente l

A continuación se hace la sustitución cambio de variable de x a z para eliminar el término x2 de la ecuación
cambio de variable en la ecuacion cubica canonica

Que simplificando equivale a ecuacion cubica canonica transformada que también puede escribirse como

ecuacion cubica reducida (Ecuación cúbica reducida)

Donde coeficiente p y coeficiente q

Ahora sea substitucion u + v en la ecuación reducida
substitucion u + v en la ecuacion cubica reducida

La última ecuación se hace cero si
sistema de ecuaciones de u y v

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

Cuyas soluciones son solucion de u y v

Sustituyendo ambas soluciones en * se obtiene
valor de z en la ecuacion cubica

Cuyo valor nos sirve para encontrar x dado que solucion de la ecuacion cubica

Pero de esta forma solo obtenemos una raíz (solución de la ecuación) y como la ecuación es de tercer grado debemos encontrar 3 soluciones  (lo cual se garantiza gracias al teorema fundamental del álgebra) entre reales y complejas.

Para encontrar las dos soluciones restantes se procede a dividir a la ecuación cúbica reducida por
Z - Z1

Siendo primer valor de z de la ecuacion cubica

La división es exacta ya que z1 es solución de Z3 + pz + q = 0

Dividiendo se tiene
division de la ecuacion cubica reducida entre z - z1

Por tanto se tiene ecuacion cubica reducida por factores. Solo nos interesa el Segundo factor
segundo factor ecuacion cubica reducida

ya que del primero sabemos que si z = z1 la ecuación se hace cero.

segundo factor igual a ceroes una ecuación de segundo grado con soluciones
solucion para z2 y z3

En conclusión las tres soluciones son
soluciones de las zetas para la ecuacion cubica

Nuevamente recordando que x = z – j/3

La raíz cuadrada que contiene a delta ecuacion cubica nos ayuda a determinar cuántas soluciones reales o complejas posee la ecuación

Si delta mayor que cero entonces la ecuación posee una solución real y dos complejas

Si delta igual a cero las tres raíces son reales. Donde al menos 2 son iguales.

Si delta menor que cero Las tres raíces son reales.

Ejemplos

Primer ejemplo: 2x3+5x2+4x+1 = 0
Se procede por identificar los términos a=2, b=5, c=4 y d=1
Luego se calculan j, k y l que son los que nos permiten encontrar p y q
j = b/a = 5/2, j = 2.5
k = c/a = 4/2, k = 2
l = d/a = 1/2, l = 0.5

coeficiente p,luego calculo de p para el ejemplo uno ; p = -1/12

coeficiente q, luego calculo de q para el ejemplo uno ; q = -1/108

Se procede con el cálculo  de Z1,Z2 y Z3

calculo de z1 y z2 para el ejemplo uno
calculo de z3 para el ejemplo uno

Como x = z – j/3 tenemos que sustituir cada una de las zetas encontradas para encontrar las raíces de la ecuación

x1 = z1 – j/3; x1 = 1/3 – 2.5/3, x1 = - 1/2
x2 = z2 – j/3; x2 = - 1/6 – 2.5/3, x1 = - 1
x3 = z3– j/3; x3 = - 1/6 – 2.5/3, x1 = - 1

Tenemos una ecuación cúbica con tres soluciones reales donde dos de ellas son iguales. Lo cual se sabía antes ya que para esta ecuación en particular delta igual a cero

Segundo ejemplo: x3 + 2x2 + x + 2 = 0
Se procede por identificar los términos a=1, b=2, c=1 y d=2
Luego se calculan j, k y l para encontrar p y q
j = b/a = 2/1, j = 2
k = c/a = 1/1, k =1
l = d/a = 2/1, l = 2

coeficiente p ,luegocalculo de p para el ejemplo dos ; p = -1/3

coeficiente q, luego calculo de q para el ejemplo dos ; q = 52/27

Se procede con el cálculo de Z1, Z2 y Z3

calculo de z1 para el ejemplo dos
calculo de z2 y z3 para el ejemplo dos

x = z – j/3 Se debe sustituir cada una de las zetas encontradas para encontrar las raíces de la ecuación

x1 = z1 – j/3; x1 = -4/3 – 2/3, x1 = - 2
x2 = z2 – j/3; x2 = 2/3 + i – 2/3, x1 = i
x3 = z3– j/3; x3 =2/3 – i – 2/3, x1 = - i

Esta es una ecuación cúbica con una sola solución real dos imaginarias y dos complejas conjugadas. Lo cual se sabía antes ya que para esta ecuación en particular delta mayor a cero

Tercer ejemplo: x3 + 2x2 - x - 2 = 0
Se procede por identificar los términos a=1, b=2, c= -1 y d= -2
A continuación se calculan j, k y l para encontrar p y q
j = b/a = 2/1, j = 2
k = c/a = - 1/1, k = - 1
l = d/a = - 2/1, l = - 2

coeficiente p,luego calculo de p para el ejemplo tres ; p = -7/3

coeficiente q, luego calculo de q para el ejemplo tres ; q = -20/27

calculo de z1 para el ejemplo tres

Como delta menor que cero (ya que obtuvimos -1/3) Las tres raíces son reales. El problema para continuar resolviendo este ejemplo es que debemos calcular las raíces cúbicas de dos cantidades complejas. Es por eso que debemos encontrar una fórmula alternativa para este caso.

Caso Irreducible de la Ecuación Cúbica


Si valor de z en la ecuacion cubica se reescribe como
valor de z reescrito para la ecuacion cubica

Por la fórmula de Moivre se sabe que
formula de moivre

identidades de Moivre para z

Sumando ambas igualdades se obtiene
suma identidades de Moivre

Pero valor de r (r es el argumento del número complejo que equivale a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la parte real y la parte imaginaria)

calculo de r

Por tanto z con transformacion de Moivre

Se deduce
z1, z2 y z3 para cuando el delta sea menor a cero

Para encontrar el ángulo se procede con la igualdad igualdad de Moivre para encontrar el angulo

calculo del angulo

Continuando con el ejemplo 3

Encontremos primero el ángulo
calculo del angulo para el ejemplo tres

Luego los valores de las zetas
calculo de z1, z2 y z3 para el ejemplo tres

x1 = z1 – j/3; x1 = 5/3 – 2/3, x1 = 1
x2 = z2 – j/3; x2 = -4/3 – 2/3, x1 = -2
x3 = z3 – j/3; x3 = -1/3 – 2/3, x1 = -1

Propiedades básicas de las soluciones de la ecuación de tercer grado

Propiedades básicas de las soluciones de la ecuación de tercer grado

Estas propiedades pueden ser comprobadas por el lector para los tres ejemplos que se desarrollaron.

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Referencias